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小学数学思想方法的梳理(十三)---数形结合思想  

2012-10-28 07:11:10|  分类: 课程标准 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法的梳理(十三)---数形结合思想

课程教材研究所 王永春

十三、数形结合思想

1. 数形结合思想的概念。

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数和形之间是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上,直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具,直角坐标系与几何图形相结合,也就是把几何图形放在坐标平面上,使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示,这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质,堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合,就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷,几何证明问题在初中是难点,到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。

2. 数形结合思想的重要意义。

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知,小学生的逻辑思维能力还比较弱,在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题;教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现,借助数形结合思想中的图形直观手段,可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题,经常要借助图形来理解和分析,也就是说,在小学数学中,数离不开形。另外,几何知识的学习,很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点,这时就需要用数来表示,如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说,就是形也离不开数。因此,数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。

3. 数形结合思想的具体应用。

数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形:一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性,可称之为以数解形;二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系,可称之为以形助数。数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)与几何有关的知识,如三角函数、向量等;(5)概率统计的图形表示;(6) 在数轴上表示不等式的解集;(7)数量关系式具有一定的几何意义,如s=100t

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用,主要体现在以下几个方面:一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题,如从低年级借助直线认识数的顺序,到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透,如数轴、位置、正反比例关系图象等,使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显,但这正是数形结合思想的重点所在,是中学数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现,统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来,便于分析和决策。四是用代数(算术)方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算,通过计算三角形内角的度数,可以知道它是什么样的三角形等等。

4. 数形结合思想的教学。

数形结合思想的教学,应注意以下几个问题。

第一,如何正确理解数形结合思想。数形结合中的形是数学意义上的形,是几何图形和图象。有些老师往往容易把利用各种图形作为直观手段帮助学生理解知识,与数形结合思想中的“以形助数”混淆起来,彼“形”非此“形”,小学数学中的实物和图片作为理解抽象知识的直观手段,很多时候是生活意义上的形,并不都是数形结合思想的应用,如6+1=7,可以通过摆各种实物和几何图片帮助学生理解加法的算理,这里的几何图片并不是数形结合中的形,因为这里并不关心几何图片的形状和大小,用什么形状和大小的图片都行,并没有赋予图片本身形状和大小的量化的特征,甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用,因而它更是生活中的形。如果结合数轴(低年级往往用类似于数轴的尺子或直线)来认识数的顺序和加法,那么就把数和形(数轴)建立了一一对应的关系,便于比较数的大小和进行加减法计算,这是真正的数形结合。由于在解决实际问题时,通过画线段图帮助学生分析数量关系是老师和学生都非常熟悉的内容,因此在案例中不再出现这方面素材。

案例1 小学数学思想方法的梳理(十三)---数形结合思想 - 一片天 - 小学数学教研天地

分析:此题很难用小学算术的知识直接计算,因为它有无穷多个数相加,如果是有限个数相加,用等式的性质进行恒等变换可以计算。从题中数的特点来看,每一项的分子都是1,每一项的分母都是它前一项分母的2倍,或者说第几项的分母就是2的几次方,第n项就是2n次方。联想到分数的计算可用几何直观图表示,那么现在可构造一个长度或者面积是1的线段或者正方形,不妨构造一个面积是1的正方形,如下图所示。先取它的一半作为二分之一,再取余下一半的一半作为四分之一,如此取下去……当取的次数非常大时,余下部分的面积已经非常小了,用极限的思想来看,当取的次数趋向于无穷大时,余下部分的面积趋向于0,因而,最后取的面积就是1。也就是说,上面算式的得数是1

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第二,适当拓展数形结合思想的应用。数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多,小学数学中常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。除此之外,还可以创新求变,在小学几何的范围内深入挖掘素材,在学生已有知识的基础上适当拓展,丰富小学数学的数形结合思想。

案例2:用两个一样的直角三角形和一个等腰直角三角形(腰等于前两个直角三角形的斜边),可以拼一个直角梯形,如下图。如果直角三角形的边长分别是34c 512c,根据梯形的面积等于3个三角形的面积之和,比较每个直角三角形的两条直角边的平方的和,与斜边的平方之间的大小关系,你能发现什么?如果直角三角形的边长分别是abc时,你又能发现什么?

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分析:当直角三角形的边长分别是34c时,梯形的面积是:(3+4)×(3+4)÷2=24.5, 3个三角形的面积和是:3×4÷2×2+c2÷2=24.5,可得c2=25,c232+42

当直角三角形的边长分别是512c时,

梯形的面积是:(5+12)×(5+12)÷2=144.5,

3个三角形的面积和是:5×12÷2×2+ c2÷2=144.5

可得c2=169, c252+122

当直角三角形的边长分别是abc时,也就是说直角三角形的三条边长可以取任意不同的值的时候,仍然有梯形的面积等于3个三角形的面积之和。

梯形的面积是:(a+b)×(a+b)÷2,

3个三角形的面积和是:a×b÷2×2+c2÷2=(2ab+c2)÷2

(a+b)×(a+b)÷2

=[a(a+b)+b(a+b)]÷2

=(a2+b2+2ab)÷2

所以有(a2+b2+2ab)÷2 =(2ab+c2)÷2,可得a2+b2 =c2

根据以上计算结果,由此得出一个重大发现:直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。实际上这是美国第20任总统茄菲尔德发现的证明勾股定理的方法。

这里有一个难点就是(a+b)×(a+b)的计算,这是中学的多项式乘法。在小学学习乘法分配律时已经会计算a(b+c)=ac+bc,那么计算(a+b)×(a+b)可以先把左边的(a+b)看作一个数,分别与右边括号中的ab相乘,再进行计算。

(a+b)×(a+b)(a+b)a+(a+b)b=a2+ba+ab+b2= a2+b2+2ab

案例3:把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包,怎样包装最省包装纸?

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分析:此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目,一般情况下教师会给学生足够的学具进行操作,拼出几种包装方法,再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。现在我们从代数思想出发,不用任何操作和具体数量的计算,一般性地,假设长方体的长、宽、高分别为abc,并且a>b>c(只要给出三个数的大小顺序便可,谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。   

首先要明确的是,问题所求怎样包装最省包装纸,实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。每个长方体有6个面,两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面,但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积,其中有两个面是原来长方体的面,另4个面分别是原来的相同的两个面拼成的;也就是说,大长方体的表面积已经不是原来两个长方体的12个面的面积直接相加的和了,而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的,因而大长方体的表面积的大小,取决于减去的(拼在一起的)两个面的面积和的大小,减去的两个面的面积和越大,大长方体的表面积就越小。根据已知条件可知,ab>ac>bc,所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为:S=4(ab+bc+ac)2ab 

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