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小学数学思想方法的梳理(三)---模型思想  

2012-10-23 13:47:47|  分类: 课程标准 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法的梳理(三)
课程教材研究所 王永春


三、模型思想

1. 模型思想的概念。

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲,数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法,数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相通之处,同样具有普遍的意义。不过,也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用,所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来,本文主要从侠义的角度讨论数学模型,即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。

2. 模型思想的重要意义。

数学模型是运用数学的语言和工具,对现实世界的一些信息进行适当的简化,经过推理和运算,对相应的数据进行分析、预测、决策和控制,并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的,便可以指导我们的实践。如上所述,数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用;因而,模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位,在数学教育领域也应该有它的一席之地。

如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达,那么模型思想更注重数学的应用,即通过数学结构化解决问题,尤其是现实中的各种问题;当然,把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。现行的数学课程标准对符号化思想有明确的要求,如要求学生“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示”这实际上就包含了模型思想。但是,课程标准对第一、二学段并没有明确提出模型思想的要求,只是在第三学段的内容标准和教学建议中明确提出了模型思想,要求在教学中“注重使学生经历从实际问题中建立数学模型”,教学过程以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开。如果说小学数学教育工作者中有人关注了模型思想,多数人基本上只是套用第三学段对模型思想的要求进行研究,也很难做到要求的具体化和课堂教学的贯彻落实。

据了解,即将颁布的课程标准修改稿与现行的课程标准相比有了较大变化,在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”,并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识”。并在教材编写建议中提出了“教材应当根据课程内容,设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现‘问题情境─建立模型─求解验证’的过程,这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意识”。

这是否可以理解为:在小学阶段,从课程标准的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用,并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值,同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。

3. 模型思想的具体应用。

数学的发现和发展过程,也是一个应用的过程。从这个角度而言,伴随着数学知识的产生和发展,数学模型实际上也随后产生和发展了。如自然数系统1,2,3,…是描述离散数量的数学模型。2000多年前的古人用公式计算土地面积,用方程解决实际问题等,实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决问题的。就小学数学的应用来说,大多数是古老的初等数学的简单应用,也许在数学家的眼里,这根本就不是真正的数学模型;不过,小学数学的应用虽然简单,但仍然是现实生活和进一步学习所不可或缺的。

小学数学中的模型如下表。

知识领域

知识点

应用举例

数与代数

数的表示

自然数列:0,1,2,…

 

 

用数轴表示数

 

数的运算

a+b=c

c-a =b, c-b=a

a×b=c(a≠0,b≠0)

c÷a=b, c÷b=a

 

运算定律

加法交换律:a+b=b+a

 

 

加法结合律:a+b+c=a+(b+c)

 

 

乘法交换律:ab=ba

 

 

乘法结合律:(ab)c=a(bc)

 

 

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

 

方程

ax+b=c

 

数量关系

时间、速度和路程:s=vt

 

 

数量、单价和总价:a=np

 

 

正比例关系:y/x=k

 

 

反比例关系:xy=k

 

 

用表格表示数量间的关系

 

 

用图象表示数量间的关系

空间与图形

用字母表示公式

三角形面积:S=小学数学思想方法的梳理(三)---模型思想 - 一片天 - 小学数学教研天地ab

 

 

平行四边形面积:S=ah

 

 

梯形面积:S=小学数学思想方法的梳理(三)---模型思想 - 一片天 - 小学数学教研天地 (a+b)h

 

 

 

圆周长:C=2πr

圆面积:S=πr2

 

 

长方体体积:v=abc

正方体体积:v=a3

圆柱体积:v=sh

圆锥体积:v=小学数学思想方法的梳理(三)---模型思想 - 一片天 - 小学数学教研天地sh

 

 

空间形式

用图表表示空间和平面结构

统计与概率

统计图和统计表

用统计图表描述和分析各种信息

 

可能性

用分数表示可能性的大小

4.模型思想的教学。

从表格中可以看出:模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式,这是它们的共同之处;但是模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型,更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。正是因为数学在各个领域的广泛应用,不但促进了科学和人类的进步,也使得人们对数学有了新的认识:数学不仅仅是数学家的乐园,它也不应是抽象和枯燥的代名词,它是全人类的朋友,也是广大中小学生的朋友。广大教师在教学中结合数学的应用和解决问题的教学,要注意贯彻课程标准的理念:一方面要注重渗透模型思想,另一方面要教会学生如何建立模型,并喜欢数学。

学生学习数学模型大概有两种情况:第一种是基本模型的学习,即学习教材中以例题为代表的新知识,这个学习过程可能是一个探索的过程,也可能是一个接受学习的理解过程;第二种是利用基本模型去解决各种问题,即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。

数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程,这个过程大致有以下几个步骤:(1) 理解问题的实际背景,明确要解决什么问题,属于什么模型系统。(2) 把复杂的情境经过分析和简化,确定必要的数据。(3) 建立模型,可以是数量关系式,也可以是图表形式。(4) 解答问题。下面结合案例做简要解析。

第一,学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家和物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的,使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律:平衡的杠杆,物体到杠杆支点的距离之比,等于两个物体重量的反比,即F1:F2=L2:L1。根据课程标准的理念,学生的学习过程有时是一个探索的过程,也是一个再创造的过程;也就是说有些模型是可以由学生进行再创造的,可以把科学家发明的成果再创造一次。如在学习了反比例关系以后,可以利用简单的学具进行操作实验,探索杠杆定律。再如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体,探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系,进而归纳出长方体的体积公式,建立模型V=abc,这是一个模型化的过程,也是一个再创造的过程。

第二,对于大多数人来说,在现实生活和工作中利用数学解决各种问题,基本上都是根据对现实情境的分析,利用已有的数学知识构建模型。这样的模型是已经存在并且是科学的,并不是新发明的,由学生进行再创造也几乎是不可行的;换句话说,有些模型由于难度较大或不便于探索,不必让学生再创造。如两个变量成反比例关系,如果给出两个量数据变化的表格,学生通过观察和计算有可能发现这两个量的关系。但是如果让学生动手实践操作去发现规律,还是有一定难度的。再如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt,利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象,操作难度较大,因而也不适合学生进行再创造。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟,使学生能够理解模型的意义便可。

第三,应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式,经过抽象建立模型,进而解决各种问题。学生学习了教材上的基础知识以后,利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题,是一个富有挑战的过程,也可以是一个合作探究的过程。如小学生奥林匹克数学竞赛中有很多应用数学解决的问题,就是一个建立模型的过程;再如中学生和大学生组队参加数学建模大赛,就是一个团队合作探究的过程。

案例1:小明的家距离学校600米,每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了,立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校,他从回家再到学校,步行的速度应是多少?(取东西的时间忽略不计)

解答过程如下:

  (1) 本题是日常生活中常见的行程问题,问题是要求小明步行的速度,是关于时间、速度和路程的问题。

(2) 这里需要明确所求的速度相对应的路程和时间是什么,因为取东西等时间忽略不计,因此剩余的时间就可以确定为步行的时间;路程是从家出来2分钟后开始算,再回家的路程加上从家到学校的路程的和;时间是10分钟减去2分钟,只有8分钟的时间了。

(3) 根据基本的关系式s=vt,可先求出s=600+(600÷10)×2=720(米),

t=10-2=8(分钟)。列式为:720=8v。

(4)v=90,即小明步行的速度为90米/分钟。

从上面的解答过程来看,小学数学的情境还是比较容易理解的,模型系统也容易确定。如果说此题比教材中的一般习题有难度的话,就是路程和时间没有直接给出,拐了个弯。也就是说难点在于第二步中知道模型系统后相应的数量怎么准确地找出来,一定要注意题中对每一个量是怎样叙述的,有什么特殊的要求,在认真读题的基础上准确地找出来或计算出来。

案例2 :有一根20米长的绳子,要剪成2米和5米长两种规格的跳绳,每种跳绳各剪多少根?(要求绳子无剩余,并且每种规格的跳绳至少要有一根。)

分析:此题从表面上看,是小学数学整数乘除法的一般问题,但是由于题目中有特殊要求,无法直接列式解答。如果用方程,题目中涉及了两个未知数,属于二元一次方程,超出了小学数学的范围。那么,面对这样的问题如何解决呢?在小学数学中面对一些非常规的问题时,有时运用列表枚举或者猜测的方式是一种可行的策略,只不过会繁琐一些。

5米跳绳的根数

1

2

3

4

 

2米跳绳的根数

7

5

2

0

 

剩余米数

1

0

1

0

 

由上表可知符合要求的答案为:5米和2米的跳绳分别剪2根和5根。

此题如果用方程解决,可设5米和2米的跳绳分别剪x根和y根,可列方程:5x+2y=20。可仿照正比例关系y=kx图像的画法,在有方格纸的坐标系里,通过两点(0,10)和(4,0)画出一条直线,就是方程5x+2y=20的图像。再找出图像与方格的交叉点重合的点,就是方程的解。

案例3:一瓶矿泉水满瓶水为500毫升,小林喝了一些,剩余的水都在圆柱形的部分,高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧,倒立过来,无水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水?

分析:此题是求水的容积,有一个在建模过程中需要的假设,就是矿泉水瓶圆柱部分并不是一个严格的圆柱形状,要假设它是圆柱形状,这样才便于建立模型。由于不知道圆柱的底面积,所以无法用容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想,根据容积公式v=sh,可知如果底面积一定,容积与圆柱的高成正比。这样就把求容积问题转化为比例的问题。由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则,倒立过来以后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度为4厘米的水。满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子后,高度为20厘米的水。可设小林喝的水为v毫升,列式为:v:500=4:(16+4),v=100。 

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